Reglas de la deducción natural de conectores tipo GENTZEN

 

En este trabajo se hará una exposición de un sistema de reglas de cálculo de deducción natural de conectores tipo GENTZEN. Son las ocho reglas básicas que fueron elegidas por Gentzen en su contribución de 1934. El cálculo de deducción natural ideado por Gentzen y Jaskowski tiene como característica más llamativa su aproximación a la deducción intuitiva.

 

 

Los cuatro conectores son: la disyunción inclusiva, la implicación, la negación y la conjunción. Se supone al lector familiarizado con las definiciones de estos conectores lógicos aún así, los repasaremos brevemente a continuación.

* La implicación ( –> ) es el conector que une a dos proposiciones en una relación causal. En lenguaje natural: “Si … entonces …”.

* La conjunción (^) es el conector lógico que une a dos proposiciones en una relación copulativa. En lenguaje natural: “y”.

* La disyunción (v) es el conector lógico que une a dos proposiciones en una relación disyuntiva. Esta disyunción es inclusiva, es decir, que la verdad de una de las proposiciones no implica la falsedad de la otra o, en otras palabras, los dos elementos de la disyunción pueden ser ciertos a la vez y la disyunción seguir teniendo valor de verdad positivo. En el lenguaje natural: “o”.

* La negación: (¬) es el conector lógico que ante una proposición le otorga un valor de verdad contrario al que tiene o, en otras palabras, es el conector lógico que ante una proposición determinada la niega. En el lenguaje natural: “no”.

Por cada uno de estos conectores existen dos reglas: una de introducción y otra de eliminación del conjuntor; esto da para 4 conectores un total de ocho reglas básicas que vamos a ver a continuación.

Reglas de la conjunción:

         – Simplificación (Simp) o Eliminación de la Conjunción (E.C.):

En lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si ocurre un hecho A y un hecho B, entonces podemos afirmar que ocurre A e igualmente podemos afirmar que ocurre B.

Por ejemplo: “es cierto que esa casa es grande y soleada. Podemos decir, entonces, que esa casa es grande. Podemos decir también, a su vez, que esa casa es soleada”.

En lenguaje formal esta ley se enuncia así:

A^B

——

A

B

– Producto (Prod) o Introducción de la conjunción (I.C.):

En lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si ocurre un hecho A concurriendo también un hecho B, entonces podemos afirmar que es cierto que ocurre A y B.

Por ejemplo: “Juan es español. Juan es alto. Luego podemos decir que Juan es español y alto”.

En lenguaje formal esta ley se enuncia así:

             A

             B

            —-
            A^B

 

Reglas de la disyunción:

– Ley de Casos (L. Cas.) o Eliminación del Disyuntor (E.D.):

En lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si ocurre el hecho A o el hecho B y resulta que en el caso de ocurrir A ocurre X y que en el caso de ocurrir B ocurre, igualmente X, entonces podemos afirmar que es cierto que ocurre X.

Por ejemplo: “No recuerdo bien si mi amigo Jacobo es periodista o político. Si fuera periodista conocería a mucha gente y si fuera político también conocería a mucha gente. Por lo tanto Jacobo, ya sea político o periodista o incluso las dos cosas, conoce a mucha gente”.

En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

A v B

— A

|

— X

— B

|

— X

———-

X

       

       – Adición (Adi.) o Introducción del Disyuntor (I.D.):

 

En el leguaje natural esta ley se puede enunciar así: si sabemos que es cierto que ocurre el hecho A, entonces podemos decir que es cierto que ocurre la disyunción de A con cualquier cosa.

Por ejemplo: “Es cierto que Antonio sabe hablar español así que es cierto que Antonio sabe hablar español o inglés; ya que, si no supiese inglés sabría español y por lo tanto la disyunción seguiría siendo correcta y si sí lo supiera hablar esto no cambiaría para nada el valor de verdad de la disyunción que seguiría siendo verdadera” (téngase en cuenta que estamos hablando de una disyunción inclusiva).

Esta ley lógica resulta chocante en un principio ya que no introduce, aparentemente, información novedosa en la deducción lógica. Aunque esto es así debemos tener en cuenta que la lógica es un sistema formal para operar con proposiciones y que a nivel operativo esta ley no sólo es útil sino imprescindible. Resulta extraño, no obstante, desde el lenguaje natural afirmaciones como “Madrid es la capital de España o yo soy Bruce Lee” pero debemos considerar que formalmente la disyunción anterior es correctísima y su valor de verdad siempre positivo.

En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

A

—

A v X

 

 

Reglas de la implicación:

– Modus Ponens (M.P.) o Eliminación del Implicador (E.I.):

            En el lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si es cierto que si ocurre A entonces ocurre B y ocurre A; entonces podemos decir que ocurre B.

            Por ejemplo: “Si llueve se mojan las calles, esta lloviendo. Luego se mojan las calles”.

            Esta regla es, junto con la Ley del Absurdo Lógico, uno de los fundamentos de la lógica ya que está implícita en la mayoría de las argumentaciones formales; podemos decir que esta ley y la citada ley del Absurdo Lógico son las leyes más importantes a un nivel axiomático pero no calculístico (a este nivel las ocho reglas que estamos viendo tienen la misma importancia).

             Debe tenerse en cuenta, a su vez, que el Modus Ponens es unidireccional, i.e., que va del antecedente al consecuente y no a la inversa. En el ejemplo de antes si es cierto que “si llueve se mojan las calles” y que “llueve” podemos decir que “se mojan las calles” pero no a la inversa; por ejemplo, si es cierto que “si llueve se mojan las calles” y que “las calles están mojadas” no podemos decir que haya llovido ya que podría ser que las calles estuvieran mojadas o por la lluvia o por otros motivos distintos a la lluvia (a causa de un riego o por el rocío de la mañana, v. gr.).

             De lo anterior se concluye que aunque la falsedad del antecedente no implica la falsedad del consecuente (si no llueve las calles podrían estar mojadas o no) sí es cierto que la falsedad del consecuente implica la falsedad del antecedente (si las calles están secas es imposible que haya llovido). Esto último es, de hecho, una regla lógica derivada que recibe el nombre de Modus Tollens y permitió al filósofo austríaco Karl Popper formular su criterio de la falsación.

             En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

              A–>B

              A

             ———

              B

 

– Teorema de la Deducción (T.D.) o Introducción de la Implicación (I.I.):

En el lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si suponemos un hecho A y bajo este supuesto ocurre B; entonces podemos decir que si ocurre A entonces ocurre B.

Por ejemplo: “Si Julio fuera Superman entonces habría nacido en Krypton, en ese planeta la gravedad es muy fuerte comparada con la Tierra; por esta razón un habitante de Krypton en la Tierra podría volar. Luego podemos decir que si Julio es Superman entonces, puede volar”.

Obsérvese que esta ley concluye la veracidad de una implicación pero no la de ninguna proposición simple. En el ejemplo anterior se ve claro: lo que se concluye es que “Si Julio es Superman, entonces puede volar” pero no que Juan sea, efectivamente, Superman o que vuele o cualquier otra cosa insostenible.

En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

 –A

|

            –B

           ——

            A–>B

 

Reglas de la Negación:

– Doble Negación (D.N.) o Eliminación de la Negación (E.N.):

              En el lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si una negación es negada entonces, podemos decir que queda transformada en una afirmación.

               Por ejemplo: “Beatriz piensa que un cuadro no es bonito pero Carolina niega que Beatriz tenga razón. Luego podemos decir que Carolina piensa que el cuadro es bonito”.

              Esta regla de la doble negación es utilizada en el lenguaje ordinario con mucha frecuencia por ejemplo, decir “esto no es inútil” significa “esto es útil” (téngase en cuenta que el prefijo in- es un prefijo de negación). En español, no obstante, se producen equívocos en el uso del idioma que no se encuentran en otras lenguas como el inglés, por ejemplo, en español decimos “no hay nadie” cuando queremos decir que un sitio se haya vacío de gente pero, lo que formalmente se está diciendo con “no hay nadie” es que hay alguien ya que, se produce una doble negación (lo contrario de “nadie” es “alguien”).

              En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

               ¬ ¬ A

              ——–

               A

 

        – Ley de Absurdo Lógico (Abs.) o Introducción de la Negación (I.N.):

En el lenguaje natural esta ley se puede enunciar así: si al suponer un hecho A llegamos a una contradicción entonces, podemos decir que el hecho A es falso.

Por ejemplo: “Supongamos que, como dices, fuiste ayer al Cine Alba a la sesión de las 18:15. A esa hora sólo proyectaban una película en la sala cuatro y yo estaba viéndola. Si hubieras estado allí yo te habría visto. No te vi. Luego has mentido y ayer no estabas a las 18:15 en el Cine Alba”.

Esta ley, como ya se dijo, junto con el teorema de la deducción es la más importante axiológicamente no sólo de la lógica sino de los mismos presupuestos de la racionalidad occidental. Si admitimos como válida una sola contradicción el universo de coherencia lógica queda destruido; de hecho, hay una regla lógica derivada denominada “Ex contradictione quodlibet” (ECQ) que viene a decir que de una contradicción es posible concluir cualquier cosa. La regla derivada ECQ es la que está detrás de esas afirmaciones del lenguaje ordinario del tipo “si eso es así yo soy el Papa de Roma”, frases sin contenido alguno porque se supone que el antecedente es contradictorio con los hechos.

A pesar de lo anterior numerosos autores han criticado esta ley admitiéndole una validez sólo relativa a nuestros procesos mentales cognitivos. En otras palabras, el principio de no contradicción para estos autores hace referencia a una limitación de nuestro entendimiento y carece de realidad objetiva.

En el lenguaje formal esta ley se enuncia así:

–A

|

— X ^ ¬X

———

¬A